この記事でわかること
– 展開の公式（乗法公式） 5パターンの一覧と覚え方
– 各公式を使った具体的な計算例（テーブルあり）
– 土木の構造計算・測量での展開公式の応用
目次
展開の公式とは何か：定義をシンプルに理解しよう
展開の公式とは、多項式の積を展開して和の形に変換する公式の総称です。
乗法公式とも呼ばれ、因数分解の逆操作に対応します。
数量の2乗・積の計算を素早く行うために必須の公式群です。
展開の公式一覧（5パターン）
代表的な5つの展開の公式を整理します。
| 公式 | 展開式 | 覚えるポイント |
|---|---|---|
| (a+b)² | a² + 2ab + b² | 「2乗は平方和＋2ab」 |
| (a−b)² | a² − 2ab + b² | 「中間項だけ符号変化」 |
| (a+b)(a−b) | a² − b² | 「和と差の積→差の2乗」 |
| (x+a)(x+b) | x² + (a+b)x + ab | 「係数の和と積」 |
| (a+b+c)² | a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca | 「全2乗＋2×組み合わせ」 |
最も使う公式は (a+b)² = a² + 2ab + b² です。
具体的な計算例・手順
各公式を実際に使って展開する手順です。
| 問題 | 使う公式 | 展開結果 |
|---|---|---|
| (x+3)² | (a+b)² | x² + 6x + 9 |
| (x−5)² | (a−b)² | x² − 10x + 25 |
| (x+4)(x−4) | (a+b)(a−b) | x² − 16 |
| (x+2)(x+7) | (x+a)(x+b) | x² + 9x + 14 |
| (2x+3)² | (a+b)² | 4x² + 12x + 9 |
(2x+3)² では a=2x, b=3 と置き換えて計算します。
土木・建設現場での活用場面
展開の公式は土木の計算基盤として使われます。
- 断面積計算: (幅+余掘り)² のように2乗展開が必要な場面があります
- 座標変換: 三角関数の加法定理は展開公式と同じ構造です
- 測量計算: 距離の2乗差から辺長を求める式に展開が使われます
（関連記事: 三乗の公式とは？(a+b)³の展開と計算）
まとめ：展開の公式チェックリスト
- ☐ (a+b)² = a² + 2ab + b² を即答できる
- ☐ (a+b)(a−b) = a² − b² で差の2乗が計算できる
- ☐ (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab の係数ルールを理解している
- ☐ (2x+3)² のように係数のある場合も展開できる
- ☐ 展開の逆が因数分解であると理解している
FAQ
Q1. 展開と因数分解の違いは何ですか？
展開は積→和へ変換、因数分解は和→積へ変換する逆操作です。
Q2. (a+b)²はなぜ a²+2ab+b² になりますか？
(a+b)(a+b) を分配法則で展開すると a²+ab+ba+b² = a²+2ab+b² になります。
Q3. 展開の公式は暗記が必要ですか？
5つの基本公式は暗記推奨です。導出原理（分配法則）も理解すると公式を忘れても再導出できます。
Q4. (a+b)² と a²+b² の違いは？
(a+b)² = a²+2ab+b² ですが a²+b² ≠ (a+b)²（中間項2abが抜けています）。この誤りが最も多いミスです。
Q5. 展開の公式は土木試験に出ますか？
2級土木施工管理技士の第一次検定（数学基礎）に出題されることがあります。基礎数学として必須の知識です。
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