この記事でわかること
– 三乗の公式（(a+b)³・(a-b)³）の定義と導き方
– パスカルの三角形を使った覚え方のコツ
– 展開・因数分解への両方向での活用法
目次
三乗の公式とは：2つの公式を整理しよう
三乗の公式とは、(a＋b)³や(a－b)³を展開したときの公式です。
| 公式 | 展開結果 |
|---|---|
| (a＋b)³ | a³＋3a²b＋3ab²＋b³ |
| (a－b)³ | a³－3a²b＋3ab²－b³ |
係数がパスカルの三角形の3段目（1・3・3・1）と一致している点が覚え方のポイントです。
公式の導き方
加法定理ではなく、二乗の公式に1段階かけ算するだけで導けます。
(a＋b)³ の導出手順：
- まず (a＋b)² ＝ a²＋2ab＋b² を計算
- 結果に (a＋b) をかける
- 展開・整理すると a³＋3a²b＋3ab²＋b³
(a－b)³ は、上の公式の b を －b に置き換えるだけです。
奇数乗の項（a²b・b³）の符号がマイナスになることに注意してください。
計算例
(2x＋3)³ を展開してみましょう。
a＝2x、b＝3 として公式に代入します。
| 項 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|
| a³ | (2x)³ | 8x³ |
| 3a²b | 3×(2x)²×3 | 36x² |
| 3ab² | 3×2x×9 | 54x |
| b³ | 3³ | 27 |
展開結果： 8x³＋36x²＋54x＋27
因数分解への応用
三乗の公式は逆向きに使うと因数分解になります。
- a³＋3a²b＋3ab²＋b³ ＝ (a＋b)³
- a³－3a²b＋3ab²－b³ ＝ (a－b)³
- a³＋b³ ＝ (a＋b)(a²－ab＋b²)
- a³－b³ ＝ (a－b)(a²＋ab＋b²)
まとめ：三乗の公式チェックリスト
- [ ] (a＋b)³ ＝ a³＋3a²b＋3ab²＋b³
- [ ] (a－b)³ ＝ a³－3a²b＋3ab²－b³
- [ ] 係数はパスカルの三角形（1・3・3・1）
- [ ] (a－b)³ は奇数乗の項がマイナス
- [ ] 逆向きで因数分解にも使える
FAQ
Q1. 三乗の公式と二乗の公式の違いは？
展開の項数が違います。二乗は3項、三乗は4項になります。係数もパスカルの三角形の対応する段が変わります。
Q2. (a＋b)³の符号は全部プラスですか？
はい。(a＋b)³はすべての項がプラスです。(a－b)³は奇数乗の項がマイナスになります。
Q3. パスカルの三角形とは何ですか？
各段の数が左上と右上の数の和になる三角形の数列です。三乗の係数は3段目の 1・3・3・1 です。
Q4. 施工管理試験で三乗の公式は出ますか？
直接の出題は少ないですが、体積や断面積の計算で展開・因数分解の知識が役立ちます。
Q5. 四乗以上の公式もありますか？
あります。二項定理（にこうていり）を使えば何乗でも展開できます。
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