この記事でわかること
- 等差数列公式の基本
- 一般項の求め方
- 和の公式の考え方
目次
等差数列とは？公式の前に意味を確認
等差数列とは、となり合う項の差がいつも同じ数列です。
たとえば 3, 5, 7, 9, … は毎回 2 ずつ増えるので等差数列です。この「毎回同じだけ増える」という性質を使うと、何番目の数か、また最初から何項までの合計かを公式で求められます。
等差数列で使う公式
まずは一般項の公式と和の公式を分けて覚えると整理しやすいです。
| 名前 | 公式 | 意味 |
|---|---|---|
| 一般項 | a_n=a_1+(n-1)d | n番目の数を出す |
| 和 | S_n=n(a_1+a_n)/2 | 最初からn項までの合計 |
| 公差 | d | 毎回増減する数 |
| 初項 | a_1 | 1番目の数 |
一般項では (n-1)、和では 最初と最後を足して2で割る 形を意識すると覚えやすいです。
一般項の求め方
何番目の数かを知りたいときは、一般項の公式を使います。
| ステップ | やること | 例 |
|---|---|---|
| 1 | 初項を確認する | a1=3 |
| 2 | 公差を確認する | d=2 |
| 3 | n を代入する | n=5 |
| 4 | 計算する | 3+(5-1)×2=11 |
この例では第5項は 11 になります。差が一定なので、何番目でも同じ考え方で求められます。
和の公式はどう考える？
和の公式は、最初と最後を組にして平均を出すイメージで考えるとわかりやすいです。
たとえば 3,5,7,9,11 の和なら、最初と最後は 14、2番目と4番目も 14 になります。真ん中の 7 を含めても、平均 7 が 5 個あると見られるので 7×5=35 と考えられます。これを一般化したものが和の公式です。
まとめ
- ☐ 等差数列は差が一定の数列
- ☐ 一般項は a_n=a_1+(n-1)d
- ☐ 公差 d は毎回の増え方
- ☐ 和は 最初と最後の平均 × 項数
- ☐ 一般項と和の公式は役割が違う
FAQ
Q1. 等差数列とは何ですか？ となり合う項の差がいつも同じ数列です。
Q2. 公差とは何ですか？ 各項がどれだけ増えるか、または減るかを表す数です。
Q3. 一般項の公式は何ですか？ a_n=a_1+(n-1)d です。
Q4. 和の公式は何ですか？ S_n=n(a_1+a_n)/2 です。
Q5. 一般項と和はどう使い分けますか？ 何番目の数を出すなら一般項、合計を出すなら和の公式を使います。
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