この記事でわかること
– 象限（しょうげん） の定義と第一〜第四象限の範囲
– 各象限の三角関数の符号（テーブルあり）
– 測量・座標計算での象限の活用法
目次
象限とは何か：定義をシンプルに理解しよう
象限（しょうげん）とは、座標平面をx軸とy軸で4等分した各領域のことです。
原点から反時計回りに第一〜第四象限と番号が振られます。
測量の方位計算や三角関数で角度の符号を判定するときに使います。
第一〜第四象限の定義と符号
各象限の位置と三角関数の符号を整理します。
| 象限 | x（cos） | y（sin） | tan | 角度の範囲 |
|---|---|---|---|---|
| 第一象限 | ＋ | ＋ | ＋ | 0°〜90° |
| 第二象限 | − | ＋ | − | 90°〜180° |
| 第三象限 | − | − | ＋ | 180°〜270° |
| 第四象限 | ＋ | − | − | 270°〜360° |
sin は第一・第二象限で正、cos は第一・第四象限で正です。
具体的な計算例・手順
角度と象限を確認する手順を示します。
| 角度 θ | 象限 | sin θ | cos θ |
|---|---|---|---|
| 30° | 第一 | 0.500 | 0.866 |
| 150° | 第二 | 0.500 | −0.866 |
| 210° | 第三 | −0.500 | −0.866 |
| 330° | 第四 | −0.500 | 0.866 |
sin は第一・第二で正、第三・第四で負になります。
土木・建設現場での活用場面
象限の概念は測量計算で頻出します。
- 方位角の計算: 北を 0° として時計回りで 0°〜360° を管理します
- 座標変換: x＝r cosθ、y＝r sinθ で座標を求めます
- CADデータ作成: 各象限の座標を正確に入力する際に活用します
逆三角関数（arctan） を使う際は象限に注意して符号を確認します。 （関連記事: 単位円とは？三角関数との関係・使い方をわかりやすく解説）
まとめ：象限の基本チェックリスト
- ☐ 象限は座標平面を4分割した領域と説明できる
- ☐ 第一象限はx・y ともに正の領域と答えられる
- ☐ sin・cos・tan の各象限での符号を把握している
- ☐ arctan 計算では象限で符号を判定できる
- ☐ 測量の方位角計算に象限の概念を使えるようにしている
FAQ
Q1. 象限はなぜ反時計回りに番号が振られますか？
数学の慣例として、x軸正方向を 0° にして反時計回りが正の角度となるためです。
Q2. 第二象限で sin が正なのはなぜですか？
y 座標が正の領域（y＞0）に位置するためです。sin θ＝y/r の関係から、y が正なら sin も正になります。
Q3. 0° や 90° などの軸上の角度はどの象限ですか？
象限には属しません。軸（境界）上の角度は「象限外」として別に扱います。
Q4. 測量で象限を使うのはどんな場面ですか？
座標をトラバース計算するとき、測点の方位から ΔX・ΔY の符号を判定するために使います。
Q5. Excel で象限を自動判定できますか？
=IF(A1>0,IF(B1>0,"第一","第四"),IF(B1>0,"第二","第三")) のような式で判定できます。
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