この記事でわかること
– 五角形の内角の和は540°：三角形分割による証明
– n角形の内角の和 ＝ (n−2)×180° の公式
– 正五角形の1つの内角の大きさと測量での応用
五角形の内角の和とは何か：定義をシンプルに理解しよう
五角形の内角の和は 540° です。
五角形（pentagon）は5つの辺を持つ多角形です。
三角形に分割する方法で「3つの三角形 × 180° ＝ 540°」と求められます。
三角形分割の視覚的説明：
五角形の1つの頂点から対角線を2本引くと、内部が三角形 3 個に分割されます。
A ─────── B
│ ╲ △₁ ╱ │
│ ╲ ╱ │
│ △₂ ╲╱ △₃ │
E ─────── D ─ C
各三角形の内角の和は 180° なので：
3 × 180° ＝ 540°
この「頂点1つから対角線を引いて三角形に分割する」方法が n角形の公式 (n−2)×180° の根拠です。
多角形の内角の和 公式と比較表
n角形の内角の和は「(n−2) × 180°」で求められます。
| 多角形 | 辺の数（n） | 計算式 | 内角の和 | 正n角形の1内角 |
|---|---|---|---|---|
| 三角形 | 3 | (3−2) × 180° | 180° | 180° ÷ 3 ＝ 60° |
| 四角形 | 4 | (4−2) × 180° | 360° | 360° ÷ 4 ＝ 90° |
| 五角形 | 5 | (5−2) × 180° | 540° | 540° ÷ 5 ＝ 108° |
| 六角形 | 6 | (6−2) × 180° | 720° | 720° ÷ 6 ＝ 120° |
| 八角形 | 8 | (8−2) × 180° | 1080° | 1080° ÷ 8 ＝ 135° |
| n角形 | n | (n−2) × 180° | (n−2) × 180° | (n−2) × 180° ÷ n |
正n角形の1内角 ＝ (n−2) × 180° ÷ n で求められます。
公式の導き方：n角形は1つの頂点から （n−2）個の三角形に分割できます。
各三角形の内角の和は180°なので、（n−2）× 180° が内角の和になります。
正五角形の1つの内角の大きさ
正五角形のすべての内角は等しいため、1つの角度は 540° ÷ 5 で求めます。
| 計算 | 結果 |
|---|---|
| 内角の和 | 540° |
| 1つの内角 | 540 ÷ 5 ＝ 108° |
| 外角の大きさ | 180° − 108° ＝ 72° |
土木・建設現場での活用場面
多角形の内角の和は測量の閉合計算で必ず使います。
- 多角測量（トラバース測量）：閉合多角形の内角の合計を検証
- 閉合誤差 ＝ 実測値の合計 − (n−2) × 180°
- 用地測量：n角形の土地の地積計算前に形状確認として角度チェック
- 道路線形設計：交差点の内角チェックに (n−2) × 180° を適用
- 建築確認申請：建物平面形状が適正な多角形かを内角の和で検証
測量では閉合誤差を許容値以内に収めることが求められます。
1級トラバース測量の閉合誤差許容値は ±10″√n（n：測点数、測量法施行規則）です。例えば n＝9 のトラバースなら ±10″ × √9 ＝ ±30″ が許容範囲です。
まとめ：五角形の内角の和の基本チェックリスト
- ☐ 五角形の内角の和は 540° であることを覚えた
- ☐ 公式 (n−2) × 180° を使えば任意の多角形の内角の和を求められる
- ☐ 正五角形の1つの内角は108°であることを理解した
- ☐ 三角形分割の原理（頂点から n−2 個の三角形）を説明できる
- ☐ 閉合多角形の内角検証に公式を使える
FAQ
Q1. 五角形の外角の和は何度ですか？
360° です。多角形の外角の和は辺の数に関係なく常に360°です。
Q2. 凹多角形（くぼんだ五角形）でも540°ですか？
はい、凹五角形でも内角の和は540°です。ただし、くぼんだ角は内角が180°を超えることがあります。
Q3. (n−2)×180° の公式をどうやって覚えますか？
「三角形（n＝3）の内角180° → n が1増えるたびに180°ずつ増える」と覚えると便利です。
Q4. 測量の閉合誤差の許容値はどのくらいですか？
1級トラバース測量の場合 ±10″√n（n：測点数）以内が目安です（測量法施行規則）。
Q5. 五角形と五芒星（星形五角形）の内角の和は同じですか？
異なります。星形五角形（ペンタグラム）の先端5点の角度の和は 180° です。
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