弧の長さとは、円の一部（弧）の曲線部分の長さのことです。扇形の弧に相当し、半径と中心角がわかれば公式で計算できます。測量・設計・円形断面の計算で使われるほか、施工管理技士の試験でも出題される基本事項です。
弧の長さの公式
弧の長さlは、半径rと中心角θ（度数法：0〜360°）を使って次の公式で求めます。
l ＝ 2πr × θ ÷ 360
これは「円全体の周長（2πr）の中で、θ度分だけを取り出した長さ」という意味です。弧度法（ラジアン）を使う場合は l＝rθ で表せます。
弧の長さの計算手順（具体例）
半径6cm・中心角120°の扇形の弧の長さを求めてみましょう。l ＝ 2π×6×120÷360 ＝ 12π×(1/3) ＝ 4π ≒ 12.6（cm）となります。手順は①公式に半径と角度を代入、②πを含む値を計算、③必要に応じてπ≒3.14で近似値に変換、の3ステップです。
扇形の面積との関係
扇形の面積Sも同じ考え方で求めます。S ＝ πr²×θ÷360 が面積の公式です。弧の長さlと面積Sの間には S＝lr÷2 という関係があります。この関係を使うと、弧の長さがわかっていれば面積を計算でき、逆も同様です。扇形を使った工事区画や法面の面積計算でも活用できます。
弧の長さが出てくる土木の場面
測量でカーブの道路線形（円曲線）の弧長を計算するときに使います。円形断面管路の周長計算や、円形水路の内周面の長さを求める場面でも必要です。中心角・半径・弧の長さの3つの関係式を使いこなせると、設計図の読み取りや積算計算がスムーズになります。 （関連記事: 体積の求め方｜立方体・円柱・円錐・球の公式一覧を解説）
まとめ
弧の長さはl＝2πr×θ÷360 の公式で求めます。中心角θと半径rの2つがわかれば計算でき、扇形の面積S＝πr²×θ÷360とセットで理解しておくと応用範囲が広がります。土木測量の円曲線設計や管路計算でも使う基本公式なので、確実に覚えておきましょう。
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