2倍角の公式とは？sin・cos・tanの公式一覧と使い方を解説

2倍角の公式は三角関数の重要な公式の一つで、構造計算・測量・数学の試験に頻出します。本記事では公式の導き方、一覧、具体的な使い方をわかりやすく解説します。

2倍角の公式とは

2倍角の公式（にばいかくのこうしき）とは、角 θ の2倍（2θ）の三角関数を、θ の三角関数で表す公式のことです。

加法定理から導くことができ、三角方程式の変形・積分計算・構造計算などで広く使われます。

2倍角の公式一覧

sin の2倍角

sin 2θ ＝ 2 sin θ cos θ

cos の2倍角（3種類の変形形式があります）

• cos 2θ ＝ cos²θ − sin²θ
• cos 2θ ＝ 1 − 2sin²θ
• cos 2θ ＝ 2cos²θ − 1

tan の2倍角

tan 2θ ＝ 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)

公式の導き方（加法定理から）

sin の2倍角は、加法定理 sin(A+B) ＝ sinA cosB + cosA sinB において A ＝ B ＝ θ を代入すると得られます。

sin(θ + θ) ＝ sin θ cos θ + cos θ sin θ ＝ 2 sin θ cos θ

cos の2倍角も同様に cos(θ + θ) から導けます。

計算例

θ ＝ 30° のとき、sin 2θ は？

sin 60° ＝ 2 × sin 30° × cos 30° ＝ 2 × (1/2) × (√3/2) ＝ √3/2

これは sin 60° ＝ √3/2 と一致します。

まとめ

2倍角の公式は加法定理を応用した三角関数の変形公式です。sin・cos・tan それぞれについて公式を覚えておくと、複雑な計算をスムーズに進められます。土木や測量の角度計算でも活用される重要な公式です。